Temario de exámenes generales de admisión al programa de doctorado en ciencias matemáticas.
El concepto de estructura algebraica.
Estructuras básicas Morfismos. Operaciones Binarias. Elemento neutro (identidad). Elementos Inversos.
Monoides. Grupos Anillos. Campos Espacios Vectoriales. Ejemplos. Subgrupos. Subanillos. Subespacios vectoriales. Ejemplos.
Homomorfismos de grupos, anillos, transformaciones lineales de espacios vectoriales. Ejemplos. Isomorfismos.
El concepto de objeto cociente (objeto factor).
Relación de equivalencia. Partición de un conjunto de clases de equivalencia. Conjunto Cociente.
Índice de un subgrupo. Teorema de Lagrange. Grupos cocientes. Subgrupos normales. Ejemplos.
Anillos cocientes. Ideales. Ejemplos.
Kernel de un morfismo. El teorema fundamental del Homomorfismo.
Grupos y acciones de grupos.
Grupos cíclicos. Su clasificación. Generadores de grupos cíclicos. Subgrupos cíclicos. Orden de un elemento.
El grupo de permutaciones (biyecciones) de un conjunto.
Grupos Simétricos.
Acción de un grupo en un conjunto. Ejemplos. Homomorfismos de un grupo en el grupo de permutaciones. Órbitas. Descomposición de un conjunto en órbitas. Subgrupo de isotropía.
Anillos conmutativos e ideales.
Anillos conmutativos. Definición y ejemplos. Divisores de 0 y unidades.
Dominios enteros. Ideales primos y maximales.
El anillo Zn. Los divisores de 0 y las unidades en Zn. El teorema de Fermat y sus generalizaciones (Euler).
Dominios enteros y campos.
La relación de división en un dominio entero. Elementos irreducibles.
Elementos primos. El problema de factorización. Dominios de ideales principales y dominios euclidianos. Ejemplos. El algoritmo de Euclides.
El anillo de polinomios sobre un campo.
Bases y dimensión de un espacio vectorial.
Independencia y dependencia lineal. Subespacios generados por una familia de vectores. Subconjuntos maximales de vectores linealmente independientes. El rango de una familia de vectores. El rango de una matriz. Teorema de existencia de una base. Dimensión de un espacio vectorial.
Coordenadas de un vector. La matriz de cambio de coordenadas.
Suma e intersección de subespacios. Suma directa de subespacios.
Transformaciones lineales de los espacios de dimensión finita.
Transformaciones lineales. Operadores lineales.
El kernel y la imagen de una transformación lineal.
Representación matricial de una transformación lineal, de un operador lineal. Dependencia de la matriz de un operador de la elección de una base. Transformaciones y operadores lineales invertibles y sus matrices.
Funcionales lineales. El espacio dual V* para un espacio vectorial V.
Base dual. El isomorfismo natural (V*)* ≅ V:
Sistemas de ecuaciones lineales.
Teorema de existencia de una solución de un sistema lineal.
Teorema acerca de dimensión de espacio de soluciones de un sistema lineal homogéneo.
Teorema acerca del conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo.
Teorema acerca del conjunto de soluciones de un sistema lineal general.
Subespacios invariantes de un operador lineal.
Subespacios invariantes y eigenvectores de un operador lineal.
Polinomio característico y eigenvalores de un operador lineal.
El problema de diagonalización de la matriz de un operador lineal.
Espacios con producto escalar.
Espacios unitarios y euclídeos. Norma de un vector. Desigualdad de Cauchy-Bubiakowski-Schwarz y sus corolarios. Familias ortogonales y familias ortonormales de vectores.
La matriz de Gram de una familia de vectores. Cálculo de producto escalar. Cálculo de proyecciones ortogonales. El proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt y complementos ortogonales. Existencia de bases ortonormales.
Operadores lineales en espacios con producto escalar.
El operador adjunto de un operador lineal y su matriz en una base ortonormal. Propiedades elementales de operadores adjuntos.
Operadores normales. Problema de diagonalización de la matriz de un operador lineal en una base ortonormal. Operadores auto adjuntos (Hermitianos, simétricos), unitarios y ortogonales. Sus matrices en bases ortonormales.
La propiedad isométrica de un operador ortogonal. Forma canónica de una matriz de un operador ortogonal.
Formas cuadráticas.
La noción de una forma cuadrática. Reducción de una forma cuadrática a la forma normal. Formas cuadráticas definidas positivas. Reducción de una forma cuadrática a la forma canónica mediante una transformación ortogonal.
Topología de conjuntos.
Conceptos generales sobre abiertos, cerrados, puntos de acumulación límite de sucesiones (no filtros). Con énfasis en el caso particular de Rm.
Axiomas básicos de separación y numerabilidad. Límite y continuidad de funciones en espacios topológicos.
Conexidad
Espacios topológicos conexos y arco-conexos. Caracterización en R. Teorema de Cantor en R y sus extensiones a Rm. Conjuntos poligonalmente conexos de Rm. Invarianza de la conexidad y de la conexidad por arcos bajo funciones continuas. Aplicaciones.
Espacios Métricos.
Distancia. Espacio métrico. Bolas. Propiedades topológicas. Límite, límites parciales e iterados en Rm Continuidad en espacios métricos. Conjuntos acotados. Sucesiones de Cauchy. Completitud. Aplicaciones contractantes. Teorema de punto fijo. Ejemplos y aplicaciones.
Compacidad.
Concepto general de compacidad en espacios topológicos. Espacios métricos compactos. ε-redes. Caracterización de la compacidad en espacios métricos (ε-redes y completitud, puntos de acumulación de conjuntos infinitos, subsucesiones convergentes de cada sucesión). Continuidad uniforme sobre espacios métricos. Propiedades de las funciones continúas sobre conjuntos compactos (Invarianza de la compacidad, homeomorfismo, continuidad uniforme).
Espacios normados.
Norma y seminorma. Espacios normados y sus propiedades generales. Funcionales y operadores lineales continuos y su caracterización mediante acotación. Formulaciones sencillas (sin demostración) de los teoremas de acotación uniforme y de extensión de Banach.
Funciones límite.
Convergencia puntual y uniforme de sucesiones y series de funciones. Aplicaciones al estudio de la continuidad o diferenciabilidad de funciones definidas por sucesiones, series o integrales impropias.
Diferenciación.
Diferenciación en Rm. Propiedades y aplicaciones de las derivadas en el caso unidimensional. Derivadas parciales y direccionales. Gradientes. Condiciones necesarias y suficientes para la diferenciación en Rm. Ejemplos y aplicaciones.
Extremos.
Extremos locales y absolutos. Cálculo de extremos sin restricciones. Aplicaciones.
Diferenciación de orden superior.
Derivadas de orden superior. Igualdad de derivadas parciales cruzadas. Fórmula y series de Taylor. Condiciones de primero y segundo orden de extremo local.
Funciones implícitas.
Jacobianos en Rm. Concepto de función implícita. Teoremas de las funciones implícitas y de la función inversa. Estudio particular del caso de dos variables. Funciones inversas. Cálculo de derivadas y jacobianos de funciones implícitas e inversas.
El problema de Cauchy.
Nociones generales del problema de Cauchy para la ecuación diferencial y´= F(x,y). Existencia y unicidad de la solución. Dependencia de la solución ante la presencia de parámetros. Particularidades del caso lineal.
Funciones de variación acotada.
Variación de una función. Nociones generales sobre funciones de variación acotada y rectificación de curvas. La integral de Riemann Stieljes, concepto y primeras propiedades. Ejemplos.
Integración sobre variedades.
Integrales de línea, de superficie y de volumen. Definiciones y propiedades básicas. Cálculos sencillos. Formula de Gren y Ostrogradosky Gauss. Cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas.
Medida.
Estructuras medibles y medida (punto de vista conjuntista). Funciones medibles. Teoremas básicos sobre medibilidad. Concepto de medida. Propiedades. Conjuntos de medida cero y su utilización.
La medida de Lebesgue.
Extensión de una premedida (sin demostración). Caracterización de las medidas borelianas en R. Medida de Lebesgue en R. Ejemplos y cálculos sencillos.
Integración.
La integral de Lebesgue. Propiedades y teoremas básicos. Comparación con la integral de Riemann. Espacio de las funciones absolutamente integrables.
Teorema de Lebesgue.
El lema de Fatuo y los teoremas de Lebesgue de convergencia monótona y de convergencia dominada. Ejemplos. Aplicaciones al estudio de sucesiones y series dependientes de un parámetro (Caso de continuidad o derivabilidad de la función límite).
Espacios L1 y L2.
Definición de los espacios L1 y L2. Completitud. El espacio L2 como un espacio de Hilbert. Relación entre convergencia puntual. Convergencia Uniforme, convergencia en media cuadrática y en estos espacios. Ejemplos.
Diferenciación compleja.
Límite y continuidad en el campo complejo. Funciones elementales. Ramas. Diferenciación e integración en el caso complejo. La teoría de Cauchy. Teoremas básicos (índice, módulo máximo, Liuville, etc.).
Residuos.
Teorema de Wierstrass. Series de Taylor y radio de convergencia. Series de Laurent. El teorema de los residuos y aplicaciones al cálculo de algunas integrales impropias.
La presente fue revisada y avalada por el Comité Académico en su reunión del día 21 de julio de 2004