El examen de admisión a la Maestría en Ciencias Matemáticas se realiza semestralmente, a continuación se presenta la guía (actualizada 2018).
Matrices y determinantes
Operaciones y matrices elementales: propiedades.
Rango e inversa de una matriz: propiedades y ejemplos.
Sistemas de ecuaciones lineales y su formulación matricial: el conjunto solución de un sistema homogéneo; sistemas no homogéneos; eliminación Gaussiana; ejemplos.
Determinantes: propiedades; inversas de matrices; reglas de Cramer; ejemplos.
Espacios vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales; propiedades y ejemplos.
Combinaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales: ejemplos.
Dependencia e independencia: propiedades y ejemplos.
Base y dimensión: propiedades; ejemplos e invariancia de la dimensión
Subconjuntos máximos linealmente independientes: existencia de bases (caso de dimensión infinita).
Transformaciones lineales
Transformaciones lineales (T. L.): núcleo e imagen de una T. L.; teorema de la dimensión.
Composición de T. L.: isomorfismos e inversa de una T. L., propiedades y ejemplos.
Transpuesta de una transformación lineal y transformaciones hermíticas y unitarias; matrices transpuestas, simétricas y ortogonales.
Representación matricial de T. L. en dimensión finita: representación matricial de una composición de T. L.; matriz de cambio de base; propiedades y ejemplos.
El espacio dual.
Diagonalización
Valores y vectores propios: polinomio característico; T. L. diagonalizables; subespacios T-invariantes; teorema de Cayley-Hamilton.
Suma directa de subespacios vectoriales: propiedades y ejemplos.
Formas canónicas
Forma canónica de Jordan: propiedades y ejemplos.
Forma canónica racional.
Polinomio mínimo.
Espacios vectoriales con producto interno
Producto interno y norma: propiedades y ejemplos
Subconjuntos de vectores ortogonales: base ortonormal; proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt; complemento ortogonal; proyección ortogonal de un vector en un subespacio.
Operador adjunto: operadores normales y autoadjuntos; teorema de Schur; propiedades y ejemplos.
Proyección ortogonal: propiedades; ejemplos; teorema espectral.
Formas bilineales y cuadráticas: formas bilineales simétricas, formas cuadráticas , ley de inercia (o Teorema de Sylvester) para matrices, formas hermitianas.
Límite y Continuidad
Conceptos y propiedades topológicas básicas; vecindad, interior, frontera, abierto, cerrado, conexión y compacidad. Ejemplos y caracterizaciones en Rn.
Límite de sucesiones y series de vectores en Rn y sucesiones fundamentales. Propiedades y ejemplos.
Continuidad de funciones y su relación con el límite de sucesiones.
Relación de la continuidad con la conexión y la compacidad; teorema del valor medio y principio del máximo.
Límites de sucesiones y series de funciones continuas.
Diferenciabilidad real
Caso de una variable real:
Derivada y su interpretación geométrica y física; derivadas de orden superior.
Relación entre derivación y continuidad.
Propiedades de la derivada; derivadas de la compuesta y la inversa.
Regla de L’Hospital y fórmula de Taylor y su aplicación al cálculo de límites indeterminados.
Extremos, concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de la gráfica de una función; trazado de gráficas.
Caso de varias variables:
Derivadas parciales, derivadas direccionales y diferencial total.
Relación entre diferenciación y continuidad.
Fórmula de Taylor para funciones reales de varias variables; vector gradiente y matriz Hessiana.
Condiciones necesarias y suficientes de extremo de primero y segundo orden.
Teoremas de la función inversa y la función implícita.
Integral de Riemann en una variable
Sumas superiores e inferiores y funciones integrables en sentido de Riemann; comparación con la integral de Cauchy.
Propiedades de la integral
Integral indefinida y teorema fundamental del cálculo.
Métodos de cálculo de integrales.
Aplicación de la integral al cálculo de límites.
Advanced Calculus An introduction to analysis, Watson Fulks. Third Edition. Editorial John Wiley & Sons.
Cálculo Infinitesimal, M. Spivak. Tomos I y II.
Calculus. T. M. Apóstol. Tomos I y II. Editorial Reverté.
The Elements of Real Analysis, Robert G. Bartle. Second Edition. Editorial Jhon Wiley & Sons.