Guía para Examen de Admisión de Maestría en Ciencias (Matemáticas) (PNPC)

El examen de admisión a la Maestría en Ciencias Matemáticas se realiza semestralmente en julio y diciembre, a continuación se presenta la guía (actualizada 2018).

ÁLGEBRA

  1. Matrices y determinantes

    1. Operaciones y matrices elementales: propiedades.

    2. Rango e inversa de una matriz: propiedades y ejemplos.

    3. Sistemas de ecuaciones lineales y su formulación matricial: el conjunto solución de un sistema homogéneo; sistemas no homogéneos; eliminación Gaussiana; ejemplos.

    4. Determinantes: propiedades; inversas de matrices; reglas de Cramer; ejemplos.

  2. Espacios vectoriales

    1. Espacios y subespacios vectoriales; propiedades y ejemplos.

    2. Combinaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales: ejemplos.

    3. Dependencia e independencia: propiedades y ejemplos.

    4. Base y dimensión: propiedades; ejemplos e invariancia de la dimensión

    5. Subconjuntos máximos linealmente independientes: existencia de bases (caso de dimensión infinita).

  3. Transformaciones lineales

    1. Transformaciones lineales (T. L.): núcleo e imagen de una T. L.; teorema de la dimensión.

    2. Composición de T. L.: isomorfismos e inversa de una T. L., propiedades y ejemplos.

    3. Transpuesta de una transformación lineal y transformaciones hermíticas y unitarias; matrices transpuestas, simétricas y ortogonales.

    4. Representación matricial de T. L. en dimensión finita: representación matricial de una composición de T. L.; matriz de cambio de base; propiedades y ejemplos.

    5. El espacio dual.

  4. Diagonalización

    1. Valores y vectores propios: polinomio característico; T. L. diagonalizables; subespacios T-invariantes; teorema de Cayley-Hamilton.

    2. Suma directa de subespacios vectoriales: propiedades y ejemplos.

  5. Formas canónicas

    1. Forma canónica de Jordan: propiedades y ejemplos.

    2. Forma canónica racional.

    3. Polinomio mínimo.

  6. Espacios vectoriales con producto interno

    1. Producto interno y norma: propiedades y ejemplos

    2. Subconjuntos de vectores ortogonales: base ortonormal; proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt; complemento ortogonal; proyección ortogonal de un vector en un subespacio.

    3. Operador adjunto: operadores normales y autoadjuntos; teorema de Schur; propiedades y ejemplos.

    4. Proyección ortogonal: propiedades; ejemplos; teorema espectral.

    5. Formas bilineales y cuadráticas: formas bilineales simétricas, formas cuadráticas , ley de inercia (o Teorema de Sylvester) para matrices, formas hermitianas.

Bibliografía:

ANÁLISIS MATEMÁTICO

  1. Límite y Continuidad

    1. Conceptos y propiedades topológicas básicas; vecindad, interior, frontera, abierto, cerrado, conexión y compacidad. Ejemplos y caracterizaciones en Rn.

    2. Límite de sucesiones y series de vectores en Rn y sucesiones fundamentales. Propiedades y ejemplos.

    3. Continuidad de funciones y su relación con el límite de sucesiones.

    4. Relación de la continuidad con la conexión y la compacidad; teorema del valor medio y principio del máximo.

    5. Límites de sucesiones y series de funciones continuas.

  2. Diferenciabilidad real

    1. Caso de una variable real:

      • Derivada y su interpretación geométrica y física; derivadas de orden superior.

      • Relación entre derivación y continuidad.

      • Propiedades de la derivada; derivadas de la compuesta y la inversa.

      • Regla de L’Hospital y fórmula de Taylor y su aplicación al cálculo de límites indeterminados.

      • Extremos, concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de la gráfica de una función; trazado de gráficas.

    2. Caso de varias variables:

      • Derivadas parciales, derivadas direccionales y diferencial total.

      • Relación entre diferenciación y continuidad.

      • Fórmula de Taylor para funciones reales de varias variables; vector gradiente y matriz Hessiana.

      • Condiciones necesarias y suficientes de extremo de primero y segundo orden.

      • Teoremas de la función inversa y la función implícita.

  3. Integral de Riemann en una variable

    1. Sumas superiores e inferiores y funciones integrables en sentido de Riemann; comparación con la integral de Cauchy.

    2. Propiedades de la integral

    3. Integral indefinida y teorema fundamental del cálculo.

    4. Métodos de cálculo de integrales.

    5. Aplicación de la integral al cálculo de límites.

Bibliografía: