Responsable: Marco Antonio Morales Sánchez, Fernando Rojas Rodríguez

Proyecto de nivel: Licenciatura

Tiempo estimado de realización: 6 meses

Financiado: no

Colaboran:

Introducción

Estructuras espaciales con periodicidad bien definida (fases moduladas) aparecen espontáneamente en una gran variedad de sistemas termodinámicos forzados fuera de equilibrio, o en sistemas en equilibrio termodinámico donde compiten interacciones repulsivas de largo alcance y atractivas de corto alcance. Casos de especial interés son las mezclas de fluidos binarias donde existen dos tipos de interacciones que compiten y que involucran escalas de longitudes muy diferentes. Los patrones más comunes que pueden aparecer son rayas (simetría lineal), patrones de simetría cuadrada, hexagonal o que son periódicas en otros casos. Cabe mencionar que tales estructuras aparecen de manera muy general en la naturaleza, incluyendo sistemas de reacciones químicas con difusión, compuestos magnéticos, o sistemas biológicos [12].Existen estudios recientes de modelos que presentan mezclas de tres componentes con interacciones bipolares. Estos modelos pueden describir una monocapa de Langmuir compuesta de tipos de moléculas polares en una interfase aire/agua. El diagrama de fase de estos sistemas presenta una riqueza de comportamientos que no se observa en sistemas binarios. Patrones nuevos aparecen, tal como hexagonales mixtos, rayas mixtas, o equilibrio de dos fases entre fases hexagonales y gotas de mayor tamaño [13, 9]. En particular, se observan fases parcialmente ordenadas (o vítreas) constituídas de cristales con defectos inducidos por el movimiento de interfases entre dominios vecinos.

Objetivos generales

En los procesos físicos fuera del equilibrio se organizan en diferentes tipos de distribuciones espaciales y temporales de un sistema. Distribuciones que sin importar sus características específicas se repiten en varios ámbitos de la naturaleza; a tales configuraciones de la materia se les nombrará como patrones. En muchas ramas de la ciencia, se tiene como principal objetivo el estudio de la formación de patrones. Por ende, al conocimiento en común sobre este tema, generado por las distintas ramas se le llamará morfogénesis [3, 1].

Existen dos perspectivas de la morfogénesis: la rama con punto de apoyo en la física estadística, y otra para la cual su base esta en la dinámica de sistemas no lineales. La primera rama trata de explicar los patrones, estableciendo analogías de las transiciones de fase en mecánica estadística con cambios bruscos y repentinos como por ejemplo en la formación de un patrón que cambia de manchas a rayas, o bien del tipo de patrón en estado uniforme a un estado vitreo; incluso se intenta de estudiarlos mediante la investigación de estados fuera del equilibrio termodinámico estadístico. La segunda rama estudia la formación de un patrón en un sistema mediante la caracterización y el análisis de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o no lineales, las cuales cambian el tipo de comportamiento de simple a complejo, debido a que se encuentran gobernadas por los cambios de sus parámetros de control. Más aún, el concepto central en este enfoque para el entendimiento de la formación de patrones es el de inestabilidad. La descripción matemática de inestabilidad, es análoga a la descripción fenomenológica de la teoría de Landau para las transiciones de fase de segunda clase [7]. En la actualidad, se conoce que el origen de la variación temporal y espacial de patrones se da en sistemas relativamente sencillos, cuando su comportamiento esta determinado por un estado inestable. Esto significa que en este estado el sistema tiene una respuesta considerable a partir de pequeños cambios del sistema. Despúes, el proceso de la formación de un patrón en un sistema, continúa si existe algún mecanismo no lineal intrínseco, el cual hace que el sistema se mueva hacia nuevos estados.

Objetivos específicos

El proyecto presente tiene dos aspectos complementarios:

a)

Modelación de mezclas ternarias mediante descomposición espinodal.

b)

Modelación de mezclas ternarias mediante aproximación de campo medio para una maya de gas.

Ambos modelos se relacionan entre si por medio de el estudio en mezclas binarias. La conexión entre ambos modelos se da, porque siempre es posible mapear un modelo de gas de maya a un modelo de Ising con spin uno [2, 4].

El estudio de la modelación de mezclas ternarias se emplea para el enterndimiento de las propiedades dinámicas por ejemplo de sistemas como aerosoles líquidos, la formación de espuma en líquidos, suspensiones, emulsiones y microemulsiones.

a)

Un ejemplo trivial de un sistema ternario sería la modelación de una microemulción constituida por ejemplo de agua, aceite y jabón (surfactante). El estudio de la dinámica para este sistema explica el entendimiento del fenómeno de tensión superficial en la formación de interfases (acumulación del surfactante) entre dos tipos de concentraciones que no se pueden mezclar (el agua y el aceite)[10].

Otro ejemplo de la modelación de mezclas ternarias, son los sistemas magnéticos. Tal modelación explica la diversa morfogénesis del crecimiento en la formación de dominios magnéticos, así como la existencia de memoria en materiales ferromagnéticos[4].

b)

Existe la teoría de campo medio de Landau, la cual permite hacer aproximaciones válidas en términos de obtener resultados similares a los anteriores modelos [9, 5]. Los resultados obtenidos en la formación por ejemplo de dominios magnéticos para materiales ferromagnéticos, muestran leyes de crecimiento de tales dominios que van como:

${\displaystyle L\left(t\right)=a{t}^{1/2}}$

donde $L\left(t\right)$ es la longitud característica de crecimiento del dominio, $a$ es una constante y $t$ es el tiempo.

Otros trabajos [6, 8] dedicados a la modelación de mezclas ternarias también muestran leyes de crecimiento en microemulciones de la misma forma. Esto muestra cierto comportamiento universal propio de las interacciones de corto y largo alcance. Sin embargo, al considerar dinámica de fluidos en el anterior sistema la ley de crecimieto en la formación de dominios de las concentraciones del sistema, se transforma en:

${\displaystyle L\left(t\right)=a{t}^{1/3}}$

donde $L\left(t\right)$ es la longitud característica de crecimiento del dominio, $a$ es una constante y $t$ es el tiempo.

Esto sugiere la introducción de otros modelos para el estudio de mezclas ternarias como por ejemplo la modelación de fluidos mediante mapeos en términos de la transformada de Fourier llamado el Modelo de Swift-Hohemberg [11].

Trabajos recientes en la modelación de mezclas ternarias [13, 12], muestran leyes de crecimiento en la formación de separación de fases para las concentraciones en la siguiente forma:

${\displaystyle L\left(t\right)=b{t}^{1/3}}$

donde $L\left(t\right)$ es la longitud característica del dominio, $a$ es una constante y $t$ es el tiempo.

Desarrollo

En principio se propone para esta investigación tres métodos computacionales:

1. Método por Montecarlo para la modelación de dominios magnéticos en materiales ferromanéticos.
2. Método de la Transformada Rápida de Fourier para la modelación de mezclas ternarias.
3. Método de Autómatas Celulares en la modelación de mezclas ternarias y formación de dominios magnéticos.

Los anteriores métodos tienen su justificación en la bibliografía anteriormente expuesta en los objetivos generales y específicos.

Resultados esperados

Al proponer acoplamiento entre los modelos de Ginzburg-Landau y Swift-Hohenberg, se espera encontrar una dinámica mucho mas lenta y con una ley de crecimiento para la formación de patrones en sistemas ternarios del tipo:

donde $L\left(t\right)$ es la longitud característica del dominio, $a$ es una constante y $t$ es el tiempo. Esta es escencialmente la característica del comportamiento en mezclas ternarias llamada dinámica ultralenta.

La hipótesis anterior, sugiere que al considerar teorías de campo medio con las mismas propiedades para mezclas ternarias, al aplicarlas ahora al caso de sistemas ferromagnéticos, se obtenga un comportamiento similar, es decir, una dinámica ultralenta.

Una final hipótesis, es la obtención de nuevos patrones, así como una riqueza y diversidad anteriormente no registrada por la literatura contemporanea, debido a que tal dinámica ultralenta favorece nuevos estados.

Bibliografía