BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

Profr. Carlos Alberto López Andrade Materia: Introducción a las Estructuras Algebraicas

Tarea # 6 (Posets)

Conjuntos parcialmente ordenados (posets o copos)

1. ¿Cuáles de los siguientes pares de elementos son comparables en el conjunto parcialmente ordenado (copo o poset) (ℕ, |)?

a) 5, 15

b) 5, 7

c) 9, 6

d) 16, 8

e) 7, 7

2. Encontrar dos elementos no comparables en los siguientes posets.

a) (P ({1, 2, 3, 4}), ⊆)

b) ({1, 2, 4, 6, 8}, |)

3. Considérese el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, ℕ×ℕ, con (a_{1}, a_{2}) ⪯ (b_{1}, b_{2}) ssi a_{1} < b_{1} ó (a_{1} = b_{1} y a_{2} ≤ b_{2}) (el orden lexicográfico). Muestre que (ℕ × ℕ, ⪯) es un poset. Sea S = {1, 2, 3} y considérese el poset (S × S; ⪯).

a) Dibuja el diagrama de Hasse del poset (S × S; ⪯).

b) Hallar todos los pares de S × S menores que (2, 3).

c) Determina todos los pares de S × S mayores que (3, 1).

4. Dibuja el diagrama de Hasse de la relación de divisibilidad en el conjunto

a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b) {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13}

c) {1, 2, 3, 6, 12, 24, 36, 48}

d) {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

5. Dibuja el diagrama de Hasse de la relación de inclusión en el conjunto P (S), siendo S = {a, b, c, d}.

6. Enumera todos los pares ordenados de cada uno de los posets que corresponden a los diagramas de Hasse que se muestran:

a)

c  d

b

a

b)

e  d

b  c

a

c)

d  e  f

g

b  a  c

7. Responde las siguientes cuestiones acerca del orden parcial representado por el siguiente diagrama de Hasse

l  m
j  k
i  h  g

d  e  f
a  b  c

a) Halla los elementos maximales.

b) Halla los elementos minimales.

c) ¿Hay máximo ?

d) ¿Hay mínimo ?

e) Halla todas las cotas superiores de {a, b, c}. f ) Halla el supremo de {a, b, c}, si es que existe.

g) Halla todas las cotas inferiores de {f, g, h}.

h) Halla el ínfimo de {f, g, h}, si es que existe.

8. Responde a las siguientes cuestiones acerca del conjunto parcialmente or-

denado ({3, 5, 9, 15, 24, 45}, |) a) Halla los elementos maximales.

b) Halla los elementos minimales.

c) ¿Hay máximo ?

d) ¿Hay mínimo ?

e) Halla todas las cotas superiores de {3, 5}. f ) Halla el supremo de {3, 5}, si es que existe.

g) Halla todas las cotas inferiores de {15, 45}.

h) Halla el ínfimo de {15, 45}, si es que existe.

9. Responde a las siguientes cuestiones acerca del conjunto parcialmente orde-

nado ({{1}, {2}, {4}, {1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}}, ⊆) a) Halla los elementos maximales.

b) Halla los elementos minimales.

c) ¿Hay máximo ?

d) ¿Hay mínimo ?

e) Halla todas las cotas superiores de {{2}, {4}}. f ) Halla el supremo de {{2}, {4}}, si es que existe.

g) Halla todas las cotas inferiores de {{1, 3, 4}, {2, 3, 4}}.

h) Halla el ínfimo de {{1, 3, 4}, {2, 3, 4}}, si es que existe.

Puebla, Pue., a 24 de octubre de 2012