Guía para Examen de Admisión de Maestría en Ciencias (Matemáticas) (PNPC)

El examen de admisión a la Maestría en Ciencias Matemáticas se realiza semestralmente en julio y diciembre, a continuación se presenta la guía.

ÁLGEBRA

  1. Álgebra Lineal:

    1. Matrices y determinantes

      • Sistemas de ecuaciones lineales y su formulación matricial.

      • Ejemplos: rotaciones y reflexiones.

      • Operaciones con matrices y cálculo matricial; inversa y exponencial de una matriz.

      • Matrices de cambio de base y matrices semejantes.

      • Determinantes, inversas de matrices y solubilidad de sistemas de ecuaciones lineales.

      • Valores propios y vectores propios y radicales de una matriz.

    2. Espacios vectoriales y transformaciones lineales

      • Espacios y subespacios vectoriales; propiedades y ejemplos: espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.

      • Dependencia lineal, base y dimensión.

      • Transformaciones y funcionales lineales; compuesta e inversa.

      • Representación matricial de transformaciones lineales en dimensión finita.

      • Subespacios propios y radicales; teorema de descomposición del espacio en sumas de subespacios propios y radicales.

      • Forma de Jordán de una matriz.

    3. Espacios con producto escalar y transformaciones lineales definidas en ellos

      • Producto escalar, ángulo entre vectores.

      • Vectores y subespacios ortogonales.

      • Transpuesta de una transformación lineal y transformaciones hermíticas y unitarias; matrices transpuestas, simétricas y ortogonales.

      • Solubilidad de un sistema de ecuaciones lineales y su relación con el sistema transpuesto homogéneo.

      • Desigualdad de Cauchy Buniakowski y norma asociada a un producto escalar.

      • Series de Fourier.

  2. Álgebra vectorial y tensorial:

    1. Álgebra vectorial.

      • Vectores recíprocos.

      • Coordenadas curvilíneas

      • Covarianza y contravarianza

    2. Álgebra tensorial.

      • Tensores: rango y dimensión.

      • Producto tensorial.

      • Transformaciones de coordenadas.

      • Cálculo tensorial.

    3. Aplicaciones físicas.

      • Mecánica clásica.

      • Electrodinámica.

      • Mecánica cuántica.

Bibliografía:

ANÁLISIS MATEMÁTICO

  1. Límite y Continuidad

    1. Conceptos y propiedades topológicas básicas; vecindad, interior, frontera, abierto, cerrado, conexión y compacidad. Ejemplos y caracterizaciones en Rn.

    2. Límite de sucesiones y series de vectores en Rn y sucesiones fundamentales. Propiedades y ejemplos.

    3. Continuidad de funciones y su relación con el límite de sucesiones.

    4. Relación de la continuidad con la conexión y la compacidad; teorema del valor medio y principio del Máximo.

    5. Límites de sucesiones y series de funciones continuas.

  2. Diferenciabilidad real

    1. Caso de una variable real:

      • Derivada y su interpretación geométrica y física; derivadas de orden superior.

      • Relación entre derivación y continuidad.

      • Propiedades de la derivada; derivadas de la compuesta y la inversa.

      • Regla de L’Hospital y fórmula de Taylor y su aplicación al cálculo de límites indeterminados.

      • Extremos, concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de la gráfica de una función; trazado de gráficas.

    2. Caso de varias variables:

      • Derivadas parciales, derivadas direccionales y diferencial total.

      • Relación entre diferenciación y continuidad.

      • Fórmula de Taylor para funciones reales de varias variables; vector gradiente y matriz Hessiana.

      • Condiciones necesarias y suficientes de extremo de primero y segundo orden.

      • Teoremas de la función inversa y la función implícita.

  3. Integral de Riemann en una variable

    1. Sumas superiores e inferiores y funciones integrables en sentido de Riemann; comparación con la integral de Cauchy.

    2. Propiedades de la integral

    3. Integral indefinida y teorema fundamental del cálculo.

    4. Métodos de cálculo de integrales.

    5. Aplicación de la integral al cálculo de límites.

  4. Diferenciación e integración compleja

    1. Números complejos y funciones complejas de variable compleja.

    2. Relación entre diferenciación real y compleja.

    3. Analiticidad y fórmulas de Cauchy Riemann.

    4. Representación de los flujos plano paralelos irrotacionales e incompresibles a través de potenciales complejos. Introducción a las representaciones conformes.

    5. Fórmula de Cauchy y algunas de sus consecuencias; desarrollo en serie de potencias, principio del máximo, derivabilidad de cualquier orden para las funciones analíticas.

    6. Singularidades aisladas de funciones analíticas.

    7. Teorema de los residuos.

Bibliografía: