Guía para Examen de Admisión de Maestría en Ciencias (Matemáticas) (PNPC)

El examen de admisión a la Maestría en Ciencias Matemáticas se realiza semestralmente, a continuación se presenta la guía (actualizada 2018).

1. Matrices y determinantes

   1. Operaciones y matrices elementales: propiedades.

   2. Rango e inversa de una matriz: propiedades y ejemplos.

   3. Sistemas de ecuaciones lineales y su formulación matricial: el conjunto solución de un sistema homogéneo; sistemas no homogéneos; eliminación Gaussiana; ejemplos.

   4. Determinantes: propiedades; inversas de matrices; reglas de Cramer; ejemplos.

2. Espacios vectoriales

   1. Espacios y subespacios vectoriales; propiedades y ejemplos.

   2. Combinaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales: ejemplos.

   3. Dependencia e independencia: propiedades y ejemplos.

   4. Base y dimensión: propiedades; ejemplos e invariancia de la dimensión

   5. Subconjuntos máximos linealmente independientes: existencia de bases (caso de dimensión infinita).

3. Transformaciones lineales

   1. Transformaciones lineales (T. L.): núcleo e imagen de una T. L.; teorema de la dimensión.

   2. Composición de T. L.: isomorfismos e inversa de una T. L., propiedades y ejemplos.

   3. Transpuesta de una transformación lineal y transformaciones hermíticas y unitarias; matrices transpuestas, simétricas y ortogonales.

   4. Representación matricial de T. L. en dimensión finita: representación matricial de una composición de T. L.; matriz de cambio de base; propiedades y ejemplos.

   5. El espacio dual.

4. Diagonalización

   1. Valores y vectores propios: polinomio característico; T. L. diagonalizables; subespacios T-invariantes; teorema de Cayley-Hamilton.

   2. Suma directa de subespacios vectoriales: propiedades y ejemplos.

5. Formas canónicas

   1. Forma canónica de Jordan: propiedades y ejemplos.

   2. Forma canónica racional.

   3. Polinomio mínimo.

6. Espacios vectoriales con producto interno

   1. Producto interno y norma: propiedades y ejemplos

   2. Subconjuntos de vectores ortogonales: base ortonormal; proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt; complemento ortogonal; proyección ortogonal de un vector en un subespacio.

   3. Operador adjunto: operadores normales y autoadjuntos; teorema de Schur; propiedades y ejemplos.

   4. Proyección ortogonal: propiedades; ejemplos; teorema espectral.

   5. Formas bilineales y cuadráticas: formas bilineales simétricas, formas cuadráticas , ley de inercia (o Teorema de Sylvester) para matrices, formas hermitianas.

Bibliografía:

• S. Friedberg, A. Insel, L. Spence, Linear Algebra, Ed. Pearson, Fourth Edition (2014).
• D. Poole. Álgebra Lineal: una introducción moderna, Cengage Learning Editores, Tercera Edición (2011).
• J. S. Golan, Foundations of Linear Algebra, Kluwer Academic Publishers, First Edition (1995).

1. Límite y Continuidad

   1. Conceptos y propiedades topológicas básicas; vecindad, interior, frontera, abierto, cerrado, conexión y compacidad. Ejemplos y caracterizaciones en Rn.

   2. Límite de sucesiones y series de vectores en Rn y sucesiones fundamentales. Propiedades y ejemplos.

   3. Continuidad de funciones y su relación con el límite de sucesiones.

   4. Relación de la continuidad con la conexión y la compacidad; teorema del valor medio y principio del máximo.

   5. Límites de sucesiones y series de funciones continuas.

2. Diferenciabilidad real

   1. Caso de una variable real:

      • Derivada y su interpretación geométrica y física; derivadas de orden superior.

      • Relación entre derivación y continuidad.

      • Propiedades de la derivada; derivadas de la compuesta y la inversa.

      • Regla de L’Hospital y fórmula de Taylor y su aplicación al cálculo de límites indeterminados.

      • Extremos, concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de la gráfica de una función; trazado de gráficas.

   2. Caso de varias variables:

      • Derivadas parciales, derivadas direccionales y diferencial total.

      • Relación entre diferenciación y continuidad.

      • Fórmula de Taylor para funciones reales de varias variables; vector gradiente y matriz Hessiana.

      • Condiciones necesarias y suficientes de extremo de primero y segundo orden.

      • Teoremas de la función inversa y la función implícita.

3. Integral de Riemann en una variable

   1. Sumas superiores e inferiores y funciones integrables en sentido de Riemann; comparación con la integral de Cauchy.

   2. Propiedades de la integral

   3. Integral indefinida y teorema fundamental del cálculo.

   4. Métodos de cálculo de integrales.

   5. Aplicación de la integral al cálculo de límites.

Bibliografía:

• Advanced Calculus An introduction to analysis, Watson Fulks. Third Edition. Editorial John Wiley & Sons.

• Cálculo Infinitesimal, M. Spivak. Tomos I y II.

• Calculus. T. M. Apóstol. Tomos I y II. Editorial Reverté.

• The Elements of Real Analysis, Robert G. Bartle. Second Edition. Editorial Jhon Wiley & Sons.